回転行列からオイラー角を一意に求める

投稿者 tel | 2012年7月5日

回転行列からオイラー角を一意に求める

通常、回転行列からオイラー角は一意に求められない。そこで制約をつけて一意な値を求める。

X軸、Y軸、Z軸周りの回転行列はそれぞれ以下のようになる。

XYZの順番で回転させると

回転行列の各要素を次のように定義する。

XYZの回転行列からそれぞれの軸の回転角を求めると

上記の式でY軸の回転角度を求めた場合、アークサインを使っているので範囲が-π/2からπ/2になってしまう。つまり90度以上のY軸回転が求められない。

実際に(30, 120, 60) と (-150, 60, -120)は同じ回転を表すが行列からオイラー角を求めたとき、上記の式では後者の回転角度しか求められない。

一意に回転角度を決定するために制約をつける。XYZ軸の回転のうちどれかが固定の場合、次のように行列から他の角度を求める。
$\dpi{80} \bg_white \fn_cm \begin{array}{rcl} m_{01} + m_{12}&=&\sin x\sin y \cos z-\cos x \sin z + \cos x \sin y \sin z-\sin x \cos z\\ &=&\sin y(\sin x\cos z+\cos x \sin z)-\left(\sin x \cos z + \cos x\sin z\right)\\ &=&\{\sin y - 1\}\sin\left(x + z\right)\\ m_{02}-m_{11}&=&\cos x \sin y\cos z+\sin x\sin z-\sin x\sin y\sin z-\cos x\cos z\\ &=&\sin y\left(\cos x\cos z-\sin x\sin z\right)-\left(\cos x\cos z-\sin x\sin z\right)\\ &=&\left\{\sin y-1\right\}\cos\left(x+z\right) \end{array}$

xが分かっている場合のオイラー角

$\dpi{80} \fn_cm \begin{array}{rcl} y&=&atan2(-m_{20}, m_{22}/\cos x) \\ z&=&atan2\left\{(m_{01} + m_{12})(-m_{20}-1), (m_{02} - m_{11})(-m_{20}-1)\right\} - x \end{array}$

cos(x)が0になる場合は

$\dpi{80} \fn_cm y = atan2(-m_{20}, m_{21} / \sin x)$

yが90度のとき

$\dpi{80} \fn_cm z = x - atan2(m_{01}, m_{02})$

zが分かっている場合のオイラー角

$\dpi{80} \fn_cm \begin{array}{rcl} x&=&atan2\left\{(m_{01} + m_{12})(-m_{20}-1), (m_{02} - m_{11})(-m_{20}-1)\right\} - z \\ y&=&atan2(-m_{20}, m_{00}/\cos z) \\ \end{array}$

とここまで書いてみてプログラムを作って試したら、XZから180度を引いて180度からYを引いたらYの範囲が-π/2からπ/2以外のものも求められるんじゃね？ということに気づいた。無駄な計算した。

(30, 120, 60) → (30 – 180, 180 – 120, 60 – 180) = (-150, 60, -120)

https://sapphire-al2o3.github.io/js-demo/math/forked_-オイラー角→行列→オイラー角/

カテゴリー: プログラム | タグ: 数学

フィードバック

回転行列からオイラー角を求めるときに参考にさせていただきました．
ひとつ気づいたのですが．．．XYZの回転角を求めるときに
y=asin(-m02)とありますが，正しくはy=asin(-m20)だと思います．
間違っていたらスミマセン．．．
By: s.akizuki on 2013年11月12日
at 12:21 午前

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ホントですね。あとで修正しておきます。ご指摘ありがとうございます。
By: tel on 2013年11月12日
at 1:03 午前

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[…] https://spphire9.wordpress.com/2012/07/05/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%8B%E3%82%89%E3%8… […]
By: 回転行列からオイラー角を求める – キャタピラ on 2014年11月5日
at 4:49 午後

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